Question

甲乙兩隊參加知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為

2

3

，乙隊中3人答對的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

且各人正確與否相互之間沒有影響．用X表示甲隊的總得分．
（Ⅰ）求隨機變量X分布列
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P（AB）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得X～B（3，

2

3

），利用公式P（X=i）=

C

i 3

(

2

3

)i(

1

3

)3-i（i=0，1，2，3）即可得到分布列．
（2）由A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，可知AB表示甲對贏得3場或2場．利用相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式即可得出．

解答：解：（1）由題意可得X～B（3，

2

3

），P（X=i）=

C

i 3

(

2

3

)i(

1

3

)3-i（i=0，1，2，3）．
其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

∴Eξ=3×

2

3

=2．
（2）由A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，可知AB表示甲對贏得3場或2場．
∴P（AB）=(

2

3

)3×(1-

2

3

)2×(1-

1

2

)+

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×[

2

3

×(1-

2

3

)×(1-

1

2

)×2+(1-

2

3

)2×

1

2

]
=

34

243

．

點評：本題考查了二項分布列及其數(shù)學期望、相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式，屬于難題．