Question

（本題滿分12分）

把邊長為的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫)，設容器的高為，容積為.

（Ⅰ）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），定義域為。（Ⅱ）容器高為時，容器的容積最大為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為    ----2分.

則   .            ---------4分

函數(shù)的定義域為.         --------- 5分

（Ⅱ）實際問題歸結(jié)為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值點.

先求的極值點.

在開區(qū)間內(nèi)，-----------6分

令，即令，解得.

因為在區(qū)間內(nèi)，可能是極值點. 當時，；

當時，.            ------------8分

因此是極大值點，且在區(qū)間內(nèi)，是唯一的極值點，

所以是的最大值點，并且最大值   

即當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為.----------12分

考點：函數(shù)模型的實際應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值。

點評：本題主要考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應用，其中解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出棱柱的底面面積和高，進而求出函數(shù)的解析式，建立數(shù)學模型．求解析式的時候，要記得求函數(shù)的定義域。