Question

已知，點(diǎn)B是軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作AB的垂線交軸于點(diǎn)Q，若,.

 

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)是否存在定直線，以PM為直徑的圓與直線的相交弦長(zhǎng)為定值，若存在,求出定直線方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) y²=x  (2) 存在定直線x=

【解析】

試題分析：（1）設(shè)B(0，t)，Q（m，0），P（x，y），由射影定理并整理可得m=-4t，然后再利用已知條件和向量相等的坐標(biāo)表示的充要條件列出關(guān)于x，y的方程即可得到點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）假設(shè)存在.根據(jù)已知幾何條件和勾股定理列出相交弦的表達(dá)式，再尋找a存在的條件即可.

試題解析：(1)設(shè)B(0，t)，設(shè)Q(m，0)，t²=|m|，m0， m=-4t²，

 Q(-4t²，0)，設(shè)P(x，y)，則=(x-，y)，=(-4t²-，0)，

2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，

 x=4t²，y=2 t， y²=x，此即點(diǎn)P的軌跡方程；       6分。

(2)由(1)，點(diǎn)P的軌跡方程是y²=x；設(shè)P(y²，y)，M (4，0) ，則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點(diǎn)T(，), 以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長(zhǎng):

L=2

 =2=2      10分

若a為常數(shù)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)y，L為定值的條件是a-=0, 即a=時(shí)，L=

 存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長(zhǎng)為定值。

 (2)存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長(zhǎng)為定值。

考點(diǎn)：1.射影定理；2.向量相等的坐標(biāo)表示的充要條件；3.勾股定理.