Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若曲線在點處的切線經過點，求的值；

（2）若在區(qū)間上存在極值點，判斷該極值點是極大值點還是極小值點，并求的取值范圍；

（3）若當時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）為極小值點. 的取值范圍是（3）

【解析】試題分析：（1）由導數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點斜式寫出切線方程，最后代入點坐標求的值；（2）由題意轉化為對應方程在區(qū)間上有解，再利用變量分離法轉化為求對應函數(shù)值域，即得的取值范圍；最后根據(jù)符號變化規(guī)律確定該極值點是極大值點還是極小值點，（3）恒成立問題，一般利用變量分離法轉化為對應函數(shù)最值： 最大值，再利用導數(shù)研究函數(shù)最大值，即得的取值范圍.

試題解析：解：（1）對求導，得.

因此.又，

所以，曲線在點處的切線方程為.

將， 代入，得.解得.

（2）的定義域為.

.

設的一個極值點為，則，即.

所以 .

當時， ；當時， .

因此在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以是的唯一的極值點，且為極小值點.

由題設可知.

因為函數(shù)在上為減函數(shù)，

所以，即.

所以的取值范圍是.

（3）當時， 恒成立，則恒成立，

即對恒成立.

設，求導得.

設（），顯然在上為減函數(shù).

又，則當時， ，從而；

當時， ，從而.

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

所以，所以，即的取值范圍為.