Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為a_n的一組正三角形A_nB_n-1B_n的底邊B_n-1B_n依次排列在x軸上（B₀與坐標(biāo)原點(diǎn)重合）．設(shè){a_n}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列，若所有正三角形頂點(diǎn)A_n在第一象限，且均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則

a

d

的值為（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

  p
• D．

  3

  4

  p

Answer 1

分析：根據(jù)題意得，正三角形A₁B₀B₁的邊長為a，利用正三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)，又點(diǎn)A₁落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則點(diǎn)A₁的坐標(biāo)適合拋物線方程，得到p=

3

4

a；又{a_n}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列，同理得到點(diǎn)A₂的坐標(biāo)且點(diǎn)A₂落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則有a=d，從而求出

a

d

的值．

解答：解：由題意得，正三角形A₁B₀B₁的邊長為a，
∴點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（

a

2

，

3 a

2

），
又∵點(diǎn)A₁落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則(

3 a

2

)2=2p×

a

2

，
∴p=

3

4

a，
又{a_n}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列，a₂=a+d，
即正三角形A₂B₁B₂的邊長為a+d，
∴點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（a+

a+d

2

，

3

2

(a+d)），
又∵點(diǎn)A₂落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則[

3 (a+d)

2

]2=2p（a+

a+d

2

），
化簡得（a-d）（2a+d）=0，∵2a+d＞0，
∴a=d，
則

a

d

的值為1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與解析幾何綜合的知識(shí)點(diǎn)，本題是一道綜合性的習(xí)題，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出正三角形的坐標(biāo)后代入拋物線方程得出變量之間的關(guān)系式．