Question

（08年新建二中六模） 已知雙曲線，過上焦點(diǎn)F₂的直線與上支交于A、B兩點(diǎn)，且線段AF₂、BF₂的長度分別為m、n.

（1）證明mn≥1；

（2）若m>n，當(dāng)直線AB的斜率時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

解析：（1）易知雙曲線上焦點(diǎn)為.

    設(shè)直線AB的方程為

    當(dāng)k=0時(shí)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和－1，

    此時(shí)mn=1.                                            

    當(dāng)代入雙曲線方程，消去x得

    .                       

                          

    由雙曲線的第二定義，知，                    

    ∴   綜上，知mn≥1. 

   （2）設(shè)直線AB的方程為，代入雙曲線方程，消去y并整理得

      

        ①

        ②

    由①②，消去即  ③         

    由

   即為所求.