Question

從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少

1

5

．本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加

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4

．
（1）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為a_n萬元，旅游業(yè)總收入為b_n萬元．寫出a_n，b_n的表達(dá)式；
（2）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

Answer 1

分析：（1）依次寫出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，從而求出n年內(nèi)的總投入量a_n，再由第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×（1+

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4

）萬元，歸納出第n年旅游業(yè)收入為400×（1+

1

4

）^n-1萬元．從而得出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入b_n．
（2）先設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由b_n-a_n＞0，解得n的取值范圍即可．

解答：解：（1）第1年投入為800萬元，第2年投入為800×（1-

1

5

）萬元，第n年投入為800×（1-

1

5

）^n-1萬元．
所以，n年內(nèi)的總投入為
a_n=800+800×（1-

1

5

）+…+800×（1-

1

5

）^n-1=

n

k=1

800×(1-

1

5

)k-1
=4000×[1-（

4

5

）ⁿ]；（3分）
第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×（1+

1

4

）萬元，
第n年旅游業(yè)收入為400×（1+

1

4

）^n-1萬元．
所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為
b_n=400+400×（1+

1

4

）+…+400×（1+

1

4

）^n-1=

n

k=1

400×(

5

4

)k-1
=1600×[（

5

4

）ⁿ-1]．（6分）
（2）設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此
b_n-a_n＞0，
即1600×[（

5

4

）ⁿ-1]-4000×[1-（

4

5

）ⁿ]＞0．
化簡得5×（

4

5

）ⁿ+2×（

5

4

）ⁿ-7＞0，（9分）
設(shè)x=（

4

5

）ⁿ，代入上式得
5x²-7x+2＞0，
解此不等式，得x＜

2

5

，x＞1（舍去）．
即（

4

5

）ⁿ＜

2

5

，
由此得n≥5．
答：至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．