Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)）滿足條件：①圖象過原點；②f（1+x）=f（1-x）；③方程f（x）=x有兩個相等的實根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]的值域．

Answer 1

分析：（1）由①可得c=0，由②-

b

2a

=1，由③可得（b-1）²-4ac=0，聯(lián)立方程組可得a、b、c的值，可得結(jié)論；
（2）可得函數(shù)在[-1，1]單調(diào)遞增，在[1，2]單調(diào)遞減，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得值域．

解答：解：（1）由①圖象過原點可得f（0）=c=0，
由②f（1+x）=f（1-x）可得函數(shù)的對稱軸為x=-

b

2a

=1
由③方程f（x）=x有兩個相等的實根可得ax²+bx+c=x，
即ax²+（b-1）x+c=0有兩個相等的實根，
故△=（b-1）²-4ac=0，
聯(lián)立方程組可解得a=-

1

2

，b=1，
故f（x）的解析式為：f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在[-1，1]單調(diào)遞增，在[1，2]單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時，函數(shù)取最大值f（1）=

1

2

，
當(dāng)x=-1時，函數(shù)取最大值f（-1）=-

3

2

，
故f（x）在x∈[-1，2]的值域為[-

3

2

，

1

2

]

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值的求解，屬基礎(chǔ)題．