Question

【題目】設(shè)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記對(duì)應(yīng)點(diǎn)的曲線是.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)任作直線與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，求滿足的關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）三數(shù)成等差數(shù)列的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為定值，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓且橢圓方程為.

（2）設(shè)，直線，則 ，聯(lián)立方程組并消元后利用韋達(dá)定理可得為定值，從而得到滿足的關(guān)系式.

詳解：（1）依題意：，

所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線方程是橢圓得，故，故

橢圓方程為

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.

由，解得，

不妨設(shè)，因?yàn)?/span>，且，

所以，所以滿足的關(guān)系式為，即.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

將代入，整理得.

設(shè)，則

又，，所以

.

所以，所以，所以滿足的關(guān)系式為.

綜上所述，滿足的關(guān)系式為.