Question

已知向量

m

=(cosx，-sinx)，

n

=(cosx，sinx-2

3

cosx)，x∈R，令f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈(0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)

m

和

n

表示出函數(shù)的解析式，進而利用兩角和公式和二倍角公式化簡整理，進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

6

的范圍，進而利用正弦定理的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值和最小值，進而求得函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2x-sinx(sinx-2

3

cosx)=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)
∵函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
（Ⅱ）當(dāng)x∈(0，

π

2

]時，
∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
即-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，2]

點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，和兩角和公式，二倍角公式等的運用．三角函數(shù)的基本公式較多，平時應(yīng)注意多積累．