Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關系，并予以證明．

Answer 1

分析：本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力．
（1）若要證明AB⊥BC，可以先證明AB⊥平面BC₁，由線面垂直的性質得到線線垂直．
（2）要判斷直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ的大小關系，可以先做出二面角的平面角，再根據三角函數的單調性進行解答．也可以根據（1）的結論，以以點B為坐標原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系利用空間向量，求出兩個角的正弦值，再根據三角函數的單調性解答．

解答：解：（Ⅰ）證明：如圖，過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，
由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側面A₁ABB₁=A₁B，得
AD⊥平面A₁BC，又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC．
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
則AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側面A₁ABB₁，
又AB?側面A₁ABB₁，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知∠ACD是直線AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=φ，
于是在Rt△ADC中，sinθ=

AD

AC

，在Rt△ADB中，sinφ=

AD

AB

，
由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜

π

2

，所以θ＜φ，
解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分
別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設AA₁=a，AC=b，
AB=c，則B（0，0，0），A（0，c，0），C(

b2-c2

，0，0)，A1(0，c，a)，
于是

BC

=(

b2-c2

，0，0)，

BA1

=(0，c，a)，

AC

=(

b2-c2

，-c，0)，

AA1

=(0，0，a)．
設平面A₁BC的一個法向量為n=（x，y，z），
則由

n• BA1 =0 n• BC =0

．得

cy+az=0 b2-c2x =0

．
可取n=（0，-a，c），于是n•

AC

=ac＞0，

AC

與n的夾角β為銳角，則β與θ互為余角．sinθ-cosβ=

n• AC

|n|•| AC |

=

ac

b a2+c2

，cosφ=

BA1 • BA

| BA1 |•| BA |

=

c

a2+c2

，
所以sinφ=

a

a2+c2

，
于是由c＜b，得

ac

b a2+c2

＜

a

a2+c2

，
即sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜

π

2

，所以θ＜φ，

點評：線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．
本題也可以用空間向量來解決，其步驟是：建立空間直角坐標系?明確相關點的坐標?明確相關向量的坐標?通過空間向量的坐標運算求解．