Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（

3

，0），且離心率e=

3

2

．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)P到直線l的距離為d，且M，O，P三點(diǎn)共線．求

3

5

|AB|2+

5

4

d2的最大值．

Answer 1

（I）由題意，c=

3

由e=

3

2

，可得a=2
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，可得點(diǎn)M在x軸上，且與O點(diǎn)不重合，顯然M，O，P三點(diǎn)不共線，不符合題設(shè)條件；
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），代入橢圓方程可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

∴M（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

）
∵M(jìn)，O，P三點(diǎn)共線，
∴k_OM=k_OP
∴2m=-4km
∵m≠0，∴k=-

1

2

此時(shí)方程為x²-2mx+2m²-2=0
由△＞0，可得-

2

＜m＜

2

，且x₁+x₂=2m，x₁x₂=2m²-2
∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=10-5m²
∵d=

2|2-m|

5

∴

3

5

|AB|2+

5

4

d2=-2（m+1）²+12
∵-

2

＜m＜

2

∴m=-1時(shí)，

3

5

|AB|2+

5

4

d2的最大值為12．