Question

已知b函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，∞）．
（1）當a＜0時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結論；
（3）當a=

1

2

時，求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

（1）當a＜0時，函數(shù)f（x）是[1，+∞）單調(diào)增函數(shù)．（1分）
證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

x12+2x1+a

x1

-

x22+2x2+a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，（4分）
∵x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，a＜0
∴

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＜0，（6分）
∴f（x₁）＜f（x₂）
由單調(diào)性定義知f（x）為[1，+∞）單調(diào)增函數(shù)．（8分）
（2）當a=

1

2

時，同理可證f（x）在[1，∞）是增函數(shù)，（10分）
∴當x=1時，f（x）的最小值為f(1)=

7

2

（12分）
又f（x）無最大值，（14分）
∴f（x）只存在最小值為

7

2

．（15分）
（若用導數(shù)處理則類似給分）