Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，S_n）都在直線2x-y-

1

2

=0上． 
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

4-2n

an

，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)（a_n，S_n）都在直線2x-y-

1

2

=0上，可得2a_n=S_n+

1

2

，進(jìn)而可求出數(shù)列的首項(xiàng)為

1

2

，且

an

an-1

=2，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由bn=

4-2n

an

，利用錯(cuò)位相減法，可求出{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵點(diǎn)（a_n，S_n）都在直線2x-y-

1

2

=0上
∴2a_n=S_n+

1

2

，a_n＞0；                 …（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+

1

2

，即a₁=

1

2

，…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-

1

2

，S_n-1=2a_n-1-

1

2

，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：

an

an-1

=2
∴數(shù)列{a_n}是

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．…（4分）
a_n=2^n-2                               …（5分）
（2）∵bn=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

∴T_n=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…+

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

①…（6分）

1

2

T_n=

8

22

+

0

23

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

②…（7分）
①-②得

1

2

T_n=4-8（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

16-8n

2n+1

   …（8分）
=4-4（1-

1

2n-1

）-

16-8n

2n+1

=

4n

2n

∴T_n=

8n

2n

  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，熟練掌握利用S_n求a_n的方法，及數(shù)列求和的方法是解答的關(guān)鍵．