Question

北京時(shí)間2011年3月11日13時(shí)46分，在日本東海岸附近海域發(fā)生里氏9級地震后引發(fā)海嘯，導(dǎo)致福島第一核電站受損嚴(yán)重．3月12日以來，福島第一核電站的4臺機(jī)組（編號分別為1、2、3、4）的核反應(yīng)堆相繼發(fā)生爆炸，放射性物質(zhì)泄漏到外部．某評估機(jī)構(gòu)預(yù)估日本在十年內(nèi)修復(fù)該核電站第1、2、3、4號機(jī)組的概率分別為

1

2

，

1

2

，

1

2

，

3

5

．假設(shè)這4臺機(jī)組能否被修復(fù)相互獨(dú)立．
（1）求十年內(nèi)這4臺機(jī)組中恰有1臺機(jī)組被修復(fù)的概率；
（2）求十年內(nèi)這4臺機(jī)組中至少有兩臺機(jī)組被修復(fù)的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，記十年內(nèi)這4臺機(jī)組中恰有1臺機(jī)組被修復(fù)為事件A，則十年中第i臺機(jī)組被修復(fù)的事件為A_i，{i=1、2、3、4），由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算可得只有第1臺、第2臺、第3臺、第4臺機(jī)組被修復(fù)的概率，進(jìn)而由互斥事件概率的加法公式，將求得的4個(gè)事件的概率相加即可得答案；
（Ⅱ）分析可得，事件“4臺機(jī)組中至少有兩臺機(jī)組被修復(fù)”的對立事件為“4臺機(jī)組全部沒有修復(fù)或恰有1臺修復(fù)”，記十年內(nèi)這4臺機(jī)組中全部沒有修復(fù)為事件B，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算可得其概率，由（Ⅰ）的結(jié)論，結(jié)合對立事件概率的性質(zhì)，計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記十年內(nèi)這4臺機(jī)組中恰有1臺機(jī)組被修復(fù)為事件A，則十年中第i臺機(jī)組被修復(fù)的事件為A_i，{i=1、2、3、4），
只有第1臺被修復(fù)的概率P₁=P（A₁•

.

A2

•

.

A3

•

.

A4

）=（

1

2

）³×

2

5

，
只有第2臺被修復(fù)的概率P₂=P（

.

A1

•A₂•

.

A3

•

.

A4

）=（

1

2

）³×

2

5

，
只有第3臺被修復(fù)的概率P₃=P（

.

A1

•

.

A2

•A₃•

.

A4

）=（

1

2

）³×

2

5

，
只有第4臺被修復(fù)的概率P₄=P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

•A₄）=（

1

2

）³×

3

5

，
則恰有1臺機(jī)組被修復(fù)的概率P（A）=P₁+P₂+P₃+P₄=（

1

2

）³×

2

5

+（

1

2

）³×

2

5

+（

1

2

）³×

2

5

+（

1

2

）³×

3

5

=

9

40

；
（Ⅱ）事件“4臺機(jī)組中至少有兩臺機(jī)組被修復(fù)”的對立事件為“4臺機(jī)組全部沒有修復(fù)或恰有1臺修復(fù)”，
記十年內(nèi)這4臺機(jī)組中全部沒有修復(fù)為事件B，
則P（B）=（1-

1

2

）×（1-

1

2

）×（1-

1

2

）×（1-

3

5

）=

2

40

，
由（Ⅰ）可得，4臺機(jī)組中恰有1臺機(jī)組被修復(fù)的概率P（A）=

9

40

，
而4臺機(jī)組中全部沒有修復(fù)的概率這4臺機(jī)組中至少有兩臺機(jī)組被修復(fù)的概率P=1-

9

40

-

2

40

=

29

40

．

點(diǎn)評：本題考查互斥事件的概率計(jì)算，解（Ⅱ）時(shí)，可以利用對立事件的性質(zhì)，先求“4臺機(jī)組中至少有兩臺機(jī)組被修復(fù)”的對立事件的概率．