Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（一1，1），P是動點(diǎn)，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．

    （I）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個點(diǎn)，且，直線OP與QA交于點(diǎn)M，試探究：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是否為定值?并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由得，   2分

整理得軌跡的方程為（且），…4分

（Ⅱ）（方法一）設(shè)，

由可知直線，則，

故，即，…………………6分

由三點(diǎn)共線可知，與共線，

∴ ，

由（Ⅰ）知，故，                  8分

同理，由與共線，

∴ ，即，

由（Ⅰ）知，故，                        10分

將，代入上式得，

整理得，

由得，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．                           12分

（方法二）

設(shè)

由可知直線，則，

故，即，             6分

∴直線方程為：   ①；               8分

直線的斜率為：，                    

∴直線方程為：，即  ②；·· 10分

聯(lián)立①②，得，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值． 12分