Question

已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,且對任意的,都有.

   (1)若的首項(xiàng)為4,公比為2,求數(shù)列的前項(xiàng)和;

   (2)若.

     ①求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;

②試探究:數(shù)列中是否存在某一項(xiàng),它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在,請求出該項(xiàng)；若不存在,請說明理由．

Answer 1

解: (1)因?yàn)?sub>,所以當(dāng)時(shí), ,兩式相減,得,

而當(dāng)時(shí),,適合上式,從而……………………3分

又因?yàn)?sub>是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,即,所以………………4分

從而數(shù)列的前項(xiàng)和…………6分

(2)①設(shè),則,所以,

設(shè)的公比為,則對任意的恒成立  ……………8分

即對任意的恒成立,

又,故,且……………………………………………………10分

從而……………………………………………………………………11分

②假設(shè)數(shù)列中第k項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)

的和,即,從而,易知  (*)………13分

又,

所以,此與(*)矛盾,從而這樣的項(xiàng)不存在…………………………………………16分