Question

（文）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)(x∈[

1

e

，e])的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中f（x）=-ax+b+axlnx，求出f（e）=b，且f（e）=2，得b=2．
（2）求出導(dǎo)數(shù)f'（x）=alnx，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，分a＞0，a＜0兩種情形求解．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=ln，，求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)后，利用零點(diǎn)分段法，分類討論后，即可得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）由f（e）=-ae+b+aelne=b，且f（e）=2，得b=2．
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx．從而f′（x）=alnx．因?yàn)閍≠0，故：
①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1；　
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1．
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx．
由（2）可得，當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	1 e	（ 1 e ，  1）	1	（1，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	2- 2 e	單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	2

又2-

1

e

＜2，所以函數(shù)f（x）（x∈）的值域?yàn)閇1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔、常規(guī)題．在（2）中涉及到了分類討論的思想方法．