Question

一項“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于2ⁿ，則算過關(guān)（假設(shè)骰子是均勻的正方體）．問：
（1）某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？
（2）他連過前兩關(guān)的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)轺蛔映霈F(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為6，若每次均擲6點(diǎn)，6×4＞2⁴，6×5＜2⁵，所以當(dāng)n≥5時，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于
2ⁿ已不可能，所以，最多只能連過4關(guān)．
（2）若連過前兩關(guān)，則第一關(guān)擲一次，所擲點(diǎn)數(shù)需在2點(diǎn)以上，第二關(guān)擲兩次所擲點(diǎn)數(shù)之和需在4點(diǎn)以上，分別把每種情況的概率求出，再相乘即可．

解答：解：（1）由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相同的，．
因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為6，而6×4＞2⁴，6×5＜2⁵，因此，當(dāng)n≥5時，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于2ⁿ已不可能．故這是一個不可能事件，最終過關(guān)的概率為0．所以，最多只能連過4關(guān)．
（2）設(shè)事件A_n為“第n關(guān)過關(guān)失敗”，則對立事件

.

An

為“第n關(guān)過關(guān)成功”．
第n關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為6ⁿ個．
第1關(guān)：事件A₁所包含基本事件數(shù)為2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和2這兩種情況）．所以，過此關(guān)的概率為P(

.

A1

)=1-P(A1)=1-

2

6

=

2

3

第2關(guān)：事件A₂所包含基本事件數(shù)為C₁¹+C₂¹+C₃¹=6，所以，過此關(guān)的概率為P(

.

A2

)=1-P(A2)=1-

6

62

=

5

6

故連過前兩關(guān)的概率是P(

.

A1

)•P(

.

A2

)=

5

9

．

點(diǎn)評：本題主要考察了互斥事件的概率求法，屬于概率的基本題型．