Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2．
（1）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，判斷S_n與n³+n²的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由恒為常數(shù)，能求出t．
（2）由，知a_n=（n+1）•2ⁿ-2，所以S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ-2n，-S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹-4n．兩式相減得：-S_n=2•2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n=-n•2ⁿ⁺¹+2n，S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n．S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n=2n（2ⁿ-1）=2n[（1+1）ⁿ-1]=2n[C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ-1]．然后通過(guò)分類討論進(jìn)行求解．
解答：解：（1）∵恒為常數(shù)
∴t=2                                                         （5分）
（2）∵∴a_n=（n+1）•2ⁿ-2（7分）∴S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ-2n∴-S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹-4n
兩式相減得：-S_n=2•2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n=-n•2ⁿ⁺¹+2n∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n（10分）∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n=2n（2ⁿ-1）=2n[（1+1）ⁿ-1]（12分）=2n[C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ-1]
當(dāng)n≥4時(shí)，（12分）
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=3×2⁴-2×3=42＞3³+3²=36．
當(dāng)n=1時(shí)，S₂=2=1³+1²
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=4＜2³+2²=12．
綜上可知，當(dāng)n≥3時(shí)，S_n＞n³+n²；當(dāng)n=2時(shí)，S_n＜n³+n²；當(dāng)n=1時(shí)，S_n=n³+n²．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用錯(cuò)位相減法和分類討論法進(jìn)行解題．