Question

。

（Ⅰ）求的極值點；

（Ⅱ）當(dāng)時，若方程在上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；

(Ⅲ）證明：當(dāng)時，。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）①時，， ∴在（－1，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)既無極大值點，也無極小值點；②當(dāng)時，在上遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值點為－1，無極小值點；③當(dāng)時，在上遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值點為－1，無極大值點；（Ⅱ）當(dāng)時，方程有兩解；(Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求的極值點，先求函數(shù)的定義域為，然后可對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得，令導(dǎo)數(shù)等零，求出的解，再利用導(dǎo)數(shù)大于0，導(dǎo)數(shù)小于0，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定極值點，但本題由于含有參數(shù)，需對討論（Ⅱ）當(dāng)時，若方程在上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，由此可得實數(shù)t的取值范圍；（Ⅲ）根據(jù)要證明當(dāng)時，，直接證明比較困難，可以利用分析法來證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個范圍上成立，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．

試題解析：（Ⅰ）（1分）

①時，， ∴在（－1，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)既無極大值點，也無極小值點。（2分）

②當(dāng)時，在上遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值點為－1，無極小值點（3分）

③當(dāng)時，在上遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值點為－1，無極大值點（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，

∴，∴當(dāng)時，方程有兩解 （8分）

(Ⅲ）要證：只須證

只須證：，

設(shè)

則，（10分）

由（1）知在單調(diào)遞減，（12分）

∴，即是減函數(shù)，而m>n，

∴，故原不等式成立。 （14分）

考點：不等式的證明；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．