Question

如圖，直線l₁：y=kx（k＞0）與直線l₂：y=-kx之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W₁，右半部分記為W₂，
（Ⅰ）分別用不等式組表示W(wǎng)₁和W₂；
（Ⅱ）若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到l₁，l₂的距離之積等于d²，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅲ）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與（Ⅱ）中的曲線C相交于M₁，M₂兩點(diǎn)，且與l₁，l₂分別交于M₃，M₄兩點(diǎn)，求證△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合。

Answer 1

解：（Ⅰ），；
（Ⅱ）直線l₁：kx-y=0（k＞0），直線l₂：kx+y=0，
由題意得，即，
由P（x，y）∈W，知，
所以，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為。
（Ⅲ）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為x=a（a≠0），
由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，且l₁與l₂關(guān)于x軸對(duì)稱，
于是M₁M₂，M₃M₄的中點(diǎn)坐標(biāo)都為（a，0），
所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標(biāo)都為，即它們的重心重合；
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=mx+n（n≠0），
由得，
由直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可知，
且，
設(shè)的坐標(biāo)分別為，
則，
設(shè)的坐標(biāo)分別為，
由得，
從而，
所以，
所以，
于是△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心也重合。