Question

設(shè)關(guān)于x的方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β（α＜β），函數(shù)f(x)=

4x-a

x2+1

，且|f（α）•f（β）|=4．
（1）證明：f（x）在[α，β]上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)α為何值時(shí)，f（x）在[α，β]上的最大值與最小值之差最小？

Answer 1

分析：（1）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x）并化簡，再由條件得：函數(shù)y=2x²-ax-2在[α，β]上恒小于0，利用f′（x）的符號進(jìn)行判定函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）由韋達(dá)定理求出f（α）•f（β）的式子，并判斷出符號，由（1）可知函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值
f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而|f（α）•f（β）|=4，則當(dāng)f（β）=-f（α）=2時(shí)，f（β）-f（α）取最小值，從而得到結(jié)論．

解答：證明：（1）由題意得，f′(x)=

(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′

(x2+1)2

=

4(x2+1)-(4x-a)•2x

(x2+1)2

=

-4x2+2ax+4

(x2+1)2

=-

2(2x2-ax-2)

(x2+1)2

，
∵方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β（α＜β），
∴函數(shù)y=2x²-ax-2在[α，β]上恒小于0，
則-

2(2x2-ax-2)

(x2+1)2

在[α，β]上恒大于0，即f′（x）＞0在[α，β]上恒成立，
∴f（x）在[α，β]上是增函數(shù)；
解：（2）∵方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β（α＜β），
∴α+β=

a

2

，αβ=-1，
∴f（α）•f（β）=

4α-a

α2+1

•

4β-a

β2+1

=

4αβ-4a(α+β)+a2

α2β2+α2+β2+1

=

-4-a2

4+ a2 4

＞0，
∴由（1）知，函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）•f（β）|=4，
∴當(dāng)且僅當(dāng)f（β）=-f（α）=2時(shí)，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，
此時(shí)a=0，f（β）=2．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判定和函數(shù)最值等有關(guān)知識，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．