Question

【題目】已知數(shù)列滿足，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)證明出不等式對(duì)任意的恒成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法可證得；

（Ⅱ）利用分析法，得出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出，即可證得結(jié)論；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可推導(dǎo)出，再由可得出，再利用放縮法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式證明結(jié)論．

（Ⅰ）設(shè)，其中，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則.

再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①因?yàn)?/span>，所以，由知；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，

則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

由得，

綜上由①②知對(duì)一切恒成立；

（Ⅱ）要證，即證，其中，

令，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而，

即，得證；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

又，所以，所以，

構(gòu)造數(shù)列，則，即，

所以，數(shù)列從第項(xiàng)開(kāi)始單調(diào)遞減，此時(shí)，，則，

則，可得，

從而，

又時(shí)，，所以得證．