Question

（2007•金山區(qū)一模）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|，其中x∈R．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）討論a=0時與a≠0時的奇偶性，然后定義定義進(jìn)行證明即可；
（2）討論a的符號，然后去掉絕對值利用分段函數(shù)表示，分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|，所以f（x）為奇函數(shù)…（1分）
因為定義域為R關(guān)于原點對稱，且f（-x）=-x|-x|=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)．…（3分）
當(dāng)a≠0時，f（x）=x|x-a|為非奇非偶函數(shù)，…（4分）
f（a）=0，f（-a）=-a|2a|，所以f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）
所以f（x）是非奇非偶函數(shù)．…（6分）
（2）當(dāng)a=0時，f(x)=

x2 x≥0 -x2 x＜0

，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；…（8分）
當(dāng)a＞0時，f(x)=

x2-ax x≥a -x2+ax x＜a

f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

a

2

)和（a，+∞）；…（10分）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

a

2

，a)；…（12分）
當(dāng)a＜0時，f(x)=

x2-ax x≥a -x2+ax x＜a

f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a）和(

a

2

，+∞)；…（14分）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，

a

2

)…（16分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．