Question

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)在處取得極值，且在處的切線的斜率為1.

（Ⅰ）求的值及的單調(diào)減區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)＞0，＞0，，求證：.

Answer 1

解：（Ⅰ）　　　　　　　 ………………………………2分

，∴ ，即，∴ ……3分

　　　　 ∴ ，又，∴ ，∴

綜上可知 　　　　　　　　　　　　 ……………………………4分

，定義域?yàn)?sub>＞0，　

由＜0 得 0＜＜，∴的單調(diào)減區(qū)間為……………6分

（Ⅱ）先證

即證

即證：　　 ………………………7分

令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即證……8分

令 則

∴

…………9分

① 當(dāng)＞，即0＜＜1時(shí)，＞0，即＞0

在（0，1）上遞增，∴＜＝0，　 ……………………10分

② 當(dāng)＜，即＞1時(shí)，＜0，即＜0

在（1，＋∞）上遞減，∴＜＝0，　 …………………11分

③ 當(dāng)＝，即＝1時(shí)，＝＝0

綜合①②③知即

即　　　 …………12分

又

∴　

綜上可得　　 ……………13分