Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，0）內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-4，-1]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0，可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間（-3，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)在（-3，0）內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，由此可求a的取值范圍；
（3）a=1時，f（x）=

1

3

x³-x-1，由（1）知，函數(shù)在（-4，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，再進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)在[t，t+3]上的最大值為M（t）以及最小值m（t），從而可得g（t）在[-4，-1]上的最小值．

解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=（x+1）（x-a），
令f′（x）=0，可得x₁=-1，x₂=a（a＞0）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞a；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜a
故函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）；
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間（-3，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
若函數(shù)在（-3，0）內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，
∴

f(-3)＜0  f(-1)＞0 f(0)＜0

，解得0＜a＜

1

3

，
∴a的取值范圍為（0，

1

3

）；
（3）a=1時，f（x）=

1

3

x³-x-1，由（1）知，函數(shù)在（-4，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增
①當(dāng)t=-4時，函數(shù)在[t，t+3]上單調(diào)遞增，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t）=f（-1）=-

1

3

，最小值為m（t）=f（-4）=-

55

3

，
則g（t）=M（t）-m（t）=18；
②當(dāng)t∈（-4，-2]時，t+3∈（-1，1]，
∴-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，t+3]上單調(diào)遞減
因此函數(shù)在[t，t+3]上的最大值為M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，
當(dāng)t∈（-4，-2]時，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），
所以g（t）=f（-1）-f（t）
而f（t）在（-4，-2]上單調(diào)遞減，因此f（t）≤f（-2）=-

5

3

，所以g（t）在（-4，-2]上的最小值為g（-2）=-

1

3

-(-

5

3

)=

4

3

；
③當(dāng)t∈[-2，-1]時，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，最大值為f（-1）與f（t+3）較大者，最小值為f（1）與f（t）較小者．
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上單調(diào)遞增，有
f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）
∵f（1）=f（-2）=-

5

3

，f（-1）=f（2）=-

1

3

，
∴M（t）=f（-1）=-

1

3

，m（t）=f（1）=-

5

3

，
∴g（t）=M（t）-m（t）=

4

3

，
綜上，函數(shù)g（t）在區(qū)間[-4，-1]上的最小值為

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)與分類討論是解題的關(guān)鍵．