Question

已知a，b，c∈R⁺，求證：

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

．

Answer 1

分析：采用分析法來證，先把不等式轉(zhuǎn)化為：

a2+b2+c2

3

≥(

a+b+c

3

)2，整理后，得到一恒成立的不等式即可．

解答：證明：要證

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

，
只需證：

a2+b2+c2

3

≥(

a+b+c

3

)2，
只需證：3（a²+b²+c²）≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．
只需證：2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca
只需證：（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而這是顯然成立的，
所以

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明．第二問的證明用到了分析法，分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步步向前推，得到一個(gè)恒成立的不等式，或明顯成立的結(jié)論即可．