Question

在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午9時(shí)，測(cè)得一輪船在島北偏東30°、俯角為30°的B處，到9時(shí)10分又測(cè)得該船在島北西60°、俯角為45°的C處．
（1）求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；
（2）在C點(diǎn)處，該船改為向正南方向航行，而不改變速度，10分鐘后到達(dá)什么位置（以A點(diǎn)為參照點(diǎn)）？（參考數(shù)據(jù)：

3

=1.7）

Answer 1

分析：（1）在Rt△PAB和Rt△PAC中分別求得AC和AB，進(jìn)而在△ACB中利用勾股定理求得BC，進(jìn)而用里程除以時(shí)間求得船的航行速度．
（2）設(shè)BC交南北軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC交東西軸于點(diǎn)F，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和求得∠FAC和∠FCA，設(shè)10分鐘后該船到達(dá)點(diǎn)D，進(jìn)而求得CD，在△ACD中運(yùn)用余弦定理求得AD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理判斷出△CAD是直角三角形，進(jìn)而求得∠FAD．

解答：解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，
∴AB=

3

（千米）
在Rt△PAC中，∠APC=45°
∴AC=PA=1（千米）
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
∴BC=

AC2+AB2

=

12+( 3 )2

=2
∴船的航行速度是2÷

1

6

=12（千米/小時(shí)）．
（2）設(shè)BC交南北軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC交東西軸于點(diǎn)F，則∠FAC=90°-∠CAE=90°-60°=30°，
∠FCA=180°-60°=120°，
設(shè)10分鐘后該船到達(dá)點(diǎn)D，因?yàn)樵摯�向正南航行，所以∠ACD=∠CAE=60°，
10分鐘所走的航程是CD=12×

1

6

=2（千米），
在△ACD中，由余弦定理得：AD²=CD²+AC²-2CD•ACcos∠ACD=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴AD=

3

≈1.7（千米）
∴△CAD是直角三角形，∠CAD=90°，而∠FAC=30°，
∴∠FAD=90°-30°=60°．
∴10分鐘后該船距離在點(diǎn)A西偏南60°，距離A點(diǎn)1.7千米處．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生的分析問(wèn)題和綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力，運(yùn)算能力．