Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的“l(fā)高調函數(shù)”．現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=2^x為R上的“1高調函數(shù)”；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的“A高調函數(shù)”；
③如果定義域為[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上“m高調函數(shù)”，那么實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）；
其中正確的命題是

①②③

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①函數(shù)f（x）=2^x為增函數(shù)，存在正實數(shù)l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），滿足高調函數(shù)定義；
②由正弦函數(shù)知函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數(shù)，只有[-1，1]上至少需要加2．

解答：解：對于①，函數(shù)f（x+l）=2x+l，f（x）=2x，
要使f（x+l）≥f（x），需要2x+l≥2x恒成立，只需l≥0；
即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，
∴函數(shù)f（x）=2x是R上的1（l≥0）高調函數(shù)，故①正確；
對于②，∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調函數(shù)，故②正確；
對于③，∵如果定義域為[1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數(shù)，
只有[-1，1]上至少需要加2，實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），故③正確，
綜上，正確的命題序號是①②③．
故答案為：①②③

點評：此題屬于新定義的題型，涉及的知識有：函數(shù)單調性的判斷與證明，以及基本初等函數(shù)的性質，其中認真審題，弄清新定義的本質，找到判斷的標準是解本題的關鍵．屬于中檔題