Question

設(shè)f(x)＝ln(1＋x)－x－ax².
(1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取到極值，求a的值；
(2)當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，f(x)在區(qū)間[－，－]上有單調(diào)遞增區(qū)間？

Answer 1

（1）a＝－   （2）a∈(－1，＋∞)．

解：(1)由題意知，f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，
且f′(x)＝－2ax－1＝，
由題意得：f′(1)＝0，則－2a－2a－1＝0，得a＝－，
又當(dāng)a＝－時(shí)，f′(x)＝＝，
當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，
所以f(1)是函數(shù)f(x)的極大值，所以a＝－.
(2)要使f(x)在區(qū)間[－，－]上有單調(diào)遞增區(qū)間，
即要求f′(x)>0在區(qū)間[－，－]上有解，
當(dāng)－≤x≤－時(shí)，
f′(x)>0等價(jià)于2ax＋(2a＋1)>0.
①當(dāng)a＝0時(shí)，不等式恒成立；
②當(dāng)a>0時(shí)，得x>－，
此時(shí)只要－<－，
解得a>0；
③當(dāng)a<0時(shí)，得x<－，
此時(shí)只要－>－，
解得－1<a<0.
綜上所述，a∈(－1，＋∞)．