Question

給出下列命題：①若復平面內(nèi)復數(shù)z=x-

1

2

i 所對應(yīng)的點都在單位圓x²+y²=1內(nèi)，則實數(shù)x的取值范圍是-

3

2

＜x＜

3

2

；②在復平面內(nèi)，若復數(shù)z滿足|z-i|+|z+i|=4，則z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；③若z³=1，則復數(shù)z一定等于1；④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數(shù)，則實數(shù)x=±1，其中，正確命題的序號是

 

Answer 1

分析：①根據(jù)若復平面內(nèi)復數(shù)z=x-

1

2

i 所對應(yīng)的點都在單位圓x²+y²=1內(nèi)，得到x2+

1

4

＜1，解不等式得到實數(shù)x的取值范圍是-

3

2

＜x＜

3

2

知本題正確；②在復平面內(nèi)，z到兩個定點的距離之和是一個定值，根據(jù)橢圓的定義知z軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；
③若z³=1，則復數(shù)z一定等于1，得到z=1，或z=-

1

2

±

3

2

i④要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0，而當x=-1時，x²+3x+2=0

解答：解：①∵若復平面內(nèi)復數(shù)z=x-

1

2

i 所對應(yīng)的點都在單位圓x²+y²=1內(nèi)，
∴x2+

1

4

＜1，
∴x2＜

3

4

∴實數(shù)x的取值范圍是-

3

2

＜x＜

3

2

∴①正確；
②在復平面內(nèi)，若復數(shù)z滿足|z-i|+|z+i|=4，
由復數(shù)的幾何意義知，z到兩個定點的距離之和是一個定值4
且4＜2
∴z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；
∴②正確；
③若z³=1，則復數(shù)z一定等于1
當復數(shù)z是一個實數(shù)時，z=1，
當復數(shù)z是一個虛數(shù)時，z=-

1

2

±

3

2

i
∴③不正確；
④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數(shù)，
要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0
而當x=-1時，x²+3x+2=0
∴④不正確．
故答案為：①②

點評：本題是一個對于復數(shù)運算的綜合題，包括復數(shù)的各種運算和性質(zhì)，而復數(shù)的加減乘除運算是比較簡單的問題，在高考時有時會出現(xiàn)，若出現(xiàn)則是要我們一定要得分的題目．