Question

（09年湖南師大附中月考理）（12分）

如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱的中點(diǎn)，已知，，   ，，求：

（1）異面直線與的距離；

（2）三面角的平面角的正切值。

Answer 1

解析：解法一：（1）∵平面，∴

又∵為的中點(diǎn)，∴，而，且，∴為等邊三角形。∴，∴，

∴，∴，

∴是異面直線與的公垂線段。

∴異面直線與的距離為1�！�………………………（6分）

（2）∵，∴…………………………（8分）

又∵，∴異面直線與所成的角即為二面角的大小。

∴即為所求。

又∵，…………………………（10分）

∴…………………………（12分）

解法二：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。

由于，，，      

，在三棱柱中有

，，，

，……………………（2分）

，∴，

故，即……………（4分）

又面，故。因此是異面直線與的公垂線段，

則，故異面直線與的距離為1。……………（6分）

（2）由已知有，，故二面角的平面角的大小為向量與的夾角。

因，…………………………（10分）

故，

即…………………………（12分）