Question

已知某橢圓的焦點(diǎn)是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過點(diǎn)F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且F₁B＋F₂B＝10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)滿足條件：F₂A、F₂B、F₂C成等差數(shù)列．

(1)求該橢圓的方程；

(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由橢圓的定義及已知得2a＝|F1B|＋|F2B|＝10，a＝5， 　　又c＝4，所以b2＝a2－c2＝9． 　　故該橢圓的方程為＋＝1． 　　(2)由題意可得F2(4，0)，F(xiàn)2B＝，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則F2A＝，又點(diǎn)A(x1，y1)在橢圓＋＝1上，故有＋＝1，y12＝(25－x12)，代入F2A＝，得F2A＝＝(25－4x1)(或直接利用焦半徑公式)，同理，F(xiàn)2C＝(25－4x2)，因?yàn)镕2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，所以F2A＋F2C＝2F2B． 　　所以(5x1)＋(5x2)＝2×，x1＋x2＝8．故弦AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＝4． 　　(3)將x＝4代入y＝kx＋m(k≠0)，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，4k＋m)，則kOM＝＝， 　　又kAC＝＝，由＋＝1，＋＝1，兩式相減，得，即·＝，·＝，k＝，所以4k＋m＝，點(diǎn)M(4，)．又點(diǎn)M(4，)在橢圓＋＝1內(nèi)，所以＋＜1．解得＜m＜，即m的取值范圍為(，)． 　　解析：本題首先利用橢圓的定義將其方程求出；然后利用已知條件將弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)找出；最后一個(gè)問題要注意挖掘隱含條件即相應(yīng)的弦中點(diǎn)一定在橢圓內(nèi)．