Question

已知f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)F（x）=xf（x），滿足F'（x）＞0對x∈R恒成立，則下面四個結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（　�。�
①f（1）+f（-1）＞0；　　
②f（x）≥0對x∈R成立；
③f（x）可能是奇函數(shù)；　
④f（x）一定沒有極值點．

A．①②

B．①③

C．①②③

D．②③④

Answer 1

分析：由于函數(shù)F（x）=xf（x），滿足F′（x）＞0對x∈R恒成立，則可知F（x）=xf（x）為R上的增函數(shù)，然后分別利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答：解：由于函數(shù)F（x）=xf（x），滿足F′（x）＞0對x∈R恒成立，則可知F（x）=xf（x）為R上的增函數(shù)，
則①f（1）＞-f（-1）即f（1）+f（-1）＞0；
②由于[xf（x）]′=f（x）+xf′（x）＞0，
又由y=xf（x）單調(diào)遞增，y=x也單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增，故f′（x）≥0，
所以當(dāng)x＜0時，f（x）≥0成立，而當(dāng)x≥0時，f（x）≥0不一定成立；
③因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以f（x）可能是奇函數(shù)；
④由y=xf（x）單調(diào)遞增，y=x也單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增，故f′（x）≥0，f（x）一定沒有極值點．
故答案為 B

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．