Question

設(shè)橢圓方程為x2+

y2

4

=1，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求動點(diǎn)P的軌跡方程

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在設(shè)出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出直線l的方程，分別把A，B的坐標(biāo)代入直線方程和橢圓的方程，利用點(diǎn)差法得到斜率和點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，把A，B的坐標(biāo)用其中點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，整理后可得答案．

解答：解：設(shè)A，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），P的坐標(biāo)為（x，y）．
則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

．
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
把A，B坐標(biāo)代入橢圓方程得x12+

y12

4

=1，x22+

y22

4

=1．
兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0   ①．
將A，B坐標(biāo)代入直線方程得，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
兩式相減得y₁-y₂=k（x₁-x₂），代入①式得(x1-x2)[(x1+x2)+

k(y1+y2)

4

]=0．
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓里面，又橢圓與y軸的交點(diǎn)為（0，-2）和（0，2），∴x₁-x₂≠0．
即由上式可得(x1+x2)+

k(y1+y2)

4

=0   ②．
另外將兩式y(tǒng)₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1相加得，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2，得k=

y1+y2-2

x1+x2

，代入②式并整理得，
(x1+x2)2+

(y1+y2)2

4

-

y1+y2

2

=0，即4x²+y²-y=0．
故答案為：4x²+y²-y=0．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了點(diǎn)差法，求解過程體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．