Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．

(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.

∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.

(2)如圖，

以點C為原點，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，設(shè)P(0,0，a)(a>0)，

則E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，則m·＝m·＝0，m為面PAC的法向量．設(shè)n＝(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·＝n·＝0，即，取x＝a，y＝－a，z＝－2，則n＝(a，－a，－2)，依題意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，則a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為