Question

【題目】已知拋物線上點處的切線方程為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）設和為拋物線上的兩個動點，其中且，線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義得,再根據切點在切線上,解方程組得（2）設線段中點，根據斜率公式得，根據點斜式得線段的垂直平分線方程,解得T坐標,利用點到點到直線距離公式得高,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用韋達定理以及弦長公式得底|AB|,根據三角形面積公式得面積函數關系,最后根據均值不等式求最值

試題解析：（Ⅰ）設點，由得，求導，

因為直線的斜率為-1，所以且，解得，

所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）設線段中點，則

，

∴直線l的方程為，

即， 過定點.

聯(lián)立

得，

，

設到AB的距離，

，

當且僅當，即 (-2,2)時取等號，

的最大值為.