Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若在上存在極值點，求的取值范圍；

（2）設(shè)， ，若存在最大值，記為，則當時， 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且存在最大值為．

【解析】試題分析：

(1)函數(shù)存在極值點，將問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)有根，且不為重根，據(jù)此分離系數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的定義域求解實數(shù) 的取值范圍即可；

(2)分類討論，當 時， 不存在最大值，

當 時，由根與系數(shù)的關(guān)系求得 的解析式，結(jié)合 的式子構(gòu)造新函數(shù) ，利用新函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意即可求得 的最大值.

解：

（1）， .

由題意，得，在上有根（不為重根）.

即在上有解.

由在上單調(diào)遞增，得.

檢驗：當時， 在上存在極值點.

∴.

（2）若，∵在上滿足，

∴在上單調(diào)遞減，∴.

∴不存在最大值.

則.

∴方程有兩個不相等的正實數(shù)根，令其為，且不妨設(shè)

則.

在上單調(diào)遞減，在上調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

對，有；對，有，

∴.

∴

.

將， 代入上式，消去得

∵，∴， .

據(jù)在上單調(diào)遞增，得.

設(shè)， .

， .

∴，即在上單調(diào)遞增.

∴

∴存在最大值為.