Question

已知函數(shù)f（x）=kx²-4x-8在[5，20]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：①當(dāng)k=0時，f（x）是一次函數(shù)，在R上是減函數(shù)，滿足條件．②當(dāng)k＞0時、③k＜0時，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得實數(shù)k的取值范圍，
綜合可得結(jié)論．

解答：解：①當(dāng)k=0時，f（x）=-4x-8，滿足在[5，20]上是單調(diào)函數(shù)．
②當(dāng)k＞0時，由于函數(shù)f（x）=kx²-4x-8的對稱軸為 x=

2

k

，
由題意可得

2

k

≤5，或 

2

k

≥20，
解得 k≥

2

5

，或k≤

1

10

．
綜合可得，k≥

2

5

，或0＜k≤

1

10

．
③當(dāng)k＜0時，由于對稱軸為 x=

2

k

＜0，顯然滿足f（x）=kx²-4x-8在[5，20]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
綜合①②③可得，k≥

2

5

，或 k≤

1

10

，
故答案為：（-∞，

1

10

]∪[

2

5

，+∞）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．