Question

．(本小題滿分14分)已知函數(shù)（，是不同時為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時，若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)在內(nèi)至少存在一個零點；

（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于的方程在上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）當(dāng)時，，………１分

依題意　　即恒成立

，解得　

所以b的取值范圍是…………………………………４分

（2）證明：因為，

解法一：當(dāng)時，符合題意. ……………………………５分

當(dāng)時，，令，則，

令，， 當(dāng)時，，

在內(nèi)有零點；……………………………７分

當(dāng)時，，

在內(nèi)有零點.

當(dāng)時，在內(nèi)至少有一個零點.

綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點. ……………………………９分

解法二：，，

.

因為a，b不同時為零，所以，故結(jié)論成立.

（3）因為為奇函數(shù)，所以，所以，.

又在處的切線垂直于直線，所以，即.

……………………………………………………………………………………１０分

1

在，上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，由解得，，

法一:如圖所示，作與的圖像，若只有一個交點，則

①當(dāng)時，，

 

x

y

即，解得；

-1

x

y

O

O

①

-1

t

②當(dāng)時，，

解得；

②

③當(dāng)時，顯示不成立；

-1

t

x

④

y

④當(dāng)時，，

 

 

 

t

x

O

y

即，解得；

⑤當(dāng)時，，

 

y

O

解得；

t

x

⑥當(dāng)時，.

………………………………………………………………１３分

綜上t的取值范圍是或或.………………１４分

法二：由,.

作與的圖知交點橫坐標(biāo)為，

當(dāng)時，過圖象上任意一點向左作平行于軸的直線與都只有唯一交點，當(dāng)取其它任何值時都有兩個或沒有交點。

所以當(dāng)時，方程在上有且只有一個實數(shù)根.

 

【解析】略