Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）將極坐標(biāo)方程化為普通方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮��?shù)寫出它的參數(shù)方程；
（2）若點P（x，y）在圓C上，求x+y的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）展開兩角差的余弦，整理后代入ρcosθ=x，ρsinθ=y得圓的普通方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程后由三角函數(shù)的平方關(guān)系化參數(shù)方程；
（2）把x，y分別代入?yún)��?shù)式，利用三角函數(shù)化積后借助于三角函數(shù)的有界性求最值．

解答：解：（1）由ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0，得
ρ2-4

2

ρ(cosθcos

π

4

+sinθsin

π

4

)+6=0，
即ρ2-4

2

ρ(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)+6=0，
ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，
即x²+y²-4x-4y+6=0為所求圓的普通方程，
整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-2）²+（y-2）²=2，
令x-2=

2

cosα，y-2=

2

sinα．
得圓的參數(shù)方程為

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

 （α為參數(shù)）；
（2）由（1）得：
x+y=4+

2

(cosα+sinα)=4+2sin（α+

π

4

），
∴當(dāng)sin（α+

π

4

）=1時，x+y的最大值為6，
當(dāng)sin（α+

π

4

）=-1時，x+y的最小值為2．
故x+y的最大值和最小值分別是6和2．

點評：本題考查了點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查了普通方程和參數(shù)方程的互化，訓(xùn)練了asinθ+bcosθ的化積公式，是中檔題．