Question

（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問7分）

如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點，。求：

（Ⅰ）點到平面的距離；

（Ⅱ）二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析:

解法一：（Ⅰ）因為AD//BC，且，所以，從而A點到平面的距離等于D點到平面的距離。

因為平面故,從而，由AD//BC，得，又由知，從而為點A到平面的距離，因此在中

。

 （Ⅱ）如答（19）圖1，過E電作，交于點G，又過G點作

，交AB于H，故為二面角的平面角，記為，過E點作EF//BC，交于點F，連結(jié)GF，因平面，故。

由于E為BS邊中點，故，在中，

，因，又，

故由三垂線定理的逆定理得，從而又可得

因此而在中，

在中，可得，故所求二面角的大小為。

解法二：

（Ⅰ）如答（19）圖2，以S(O)為坐標原點，射線OD，OC分別為x軸，y軸正向，建立空間

坐標系，設(shè)，因平面

即點A在xoz平面上，因此。

又，

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS與平面yOx重合，從而點A到平面BCS的距離為。

（Ⅱ）易知C(0,2,0)，D(,0,0)。因E為BS的中點，ΔBCS為直角三角形，

知 。

設(shè)B(0,2, )，＞0，則＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）。

在CD上取點G，設(shè)G（），使GE⊥CD 。

由故

    ①　

又點G在直線CD上，即，由=（），則有　②

聯(lián)立①、②，解得G＝，

故=，又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角為向量與向量所成的角，記此角為。

因為=，,所以

 ，故所求的二面角的大小為 。