Question

設函數(shù)f（x）=lnx．
（I）證明函數(shù)g(x)=f(x)-

2(x-1)

x+1

在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（II）若不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2，當b∈[-1，1]{

1

Sn-S1

}(n∈N*，n≥3)時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出g（x）的導函數(shù)，判斷出當x＞1時，導數(shù)大于0得到g（x）在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（II）將原不等式變形為m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]時恒成立，求出1-（x-1）²的最大值為1，令m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]時恒成立，將此不等式看成關于b的一次不等式，令其兩個端點大于等于0即可．

解答：解：（I）∵g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
當x＞1時，g'（x）＞0，
∴g（x）在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（II）∵f（e^1-2x）=lne^1-2x=1-2x，
∴原不等式即為m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]時恒成立．
∵1-（x-1）²的最大值為1，
∴m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]時恒成立．
令Q（b）=m²-2bm-3，則Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．
由Q（-1）≥0，m²+2m-3≥0，解得m≥1或m≤-3．
由Q（1）≥0，m²-2m-3≥0，解得m≥3或m≤-1．
∴綜上得，m≥3或m≤-3．

點評：解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍問題，應該分離出參數(shù)，構造函數(shù)轉化為求函數(shù)的最值進行解決．