Question

如圖所示，點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，DN⊥x軸，點(diǎn)M在DN的延長線上，且（λ＞0）．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并求當(dāng)λ為何值時(shí)M的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）當(dāng)時(shí)，（1）所得曲線記為C，已知直線，P是l上的動(dòng)點(diǎn)，射線OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交曲線C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)M（x，y），N（x₀，y₀），
由得 x=x₀，y=λy₀，
∴

把N（x₀，y₀）代入圓的方程得，
化簡得

當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，M的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

（2））當(dāng)時(shí)，（1）所得曲線C為．
設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y）
∵P在l上、R在橢圓上，∴①②

設(shè)，由比例性質(zhì)得 ，∴x₁=tx，y₁=ty

代入①得③

∵|OQ|•|OP|=|OR|²，∴，
∴

代入②得④

由③④聯(lián)立得=，又t≠0，
∴，原點(diǎn)除外．
化簡得點(diǎn)Q的軌跡方程為x²-2x+4y²-4y=0（原點(diǎn)除外）．

分析：（1）利用，確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，可以得到點(diǎn)M的軌跡方程，從而可得λ為何值時(shí)M的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y），根據(jù)比例性質(zhì)，條件|OQ|•|OP|=|OR|²，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡變形即可得到點(diǎn)Q的軌跡方程．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查代入法求軌跡方程，考查消參思想，解題的關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)．