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        1. 【題目】已知數(shù)列的前項和為,且,.

          1)計算,,并求數(shù)列的通項公式;

          2)若數(shù)列滿足,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

          3)由數(shù)列的項組成一個新數(shù)列,,,,,設為數(shù)列的前項和,試求的值.

          【答案】1)詳見解析,;(2;(31

          【解析】

          1)通過計算出前幾項的值,猜想通項公式,進而利用數(shù)學歸納法證明;

          2)通過作差,進而計算即得結(jié)論;

          3)通過(2),利用分組法求和,進而計算可得結(jié)論.

          1)解:當時,由,得

          ,得;

          時,由,得

          時,由,得;

          猜想:

          下面用數(shù)學歸納法證明:

          時, ,結(jié)論顯然成立;

          假設當時,

          由條件知,

          ,

          于是,

          從而,

          故數(shù)列的通項公式為:;

          2)證明:當時,,當時,由條件得

          從而,

          故數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列;

          3)解:由題意,得

          ,

          從而.

          練習冊系列答案
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          (2)在中國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中,稱圖中所示的五面體為“芻甍”(chúméng),書中將芻甍的體積求法表述為:

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