Question

（2011•閘北區(qū)二模）某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（2≤a≤6）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為x元（7≤x≤9）時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（12-x）萬(wàn)件．
（1）求該分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先求出每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，再乘以一年的銷(xiāo)量，便可求出分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)L與x的函數(shù)關(guān)系式先求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令L′（x）=0便可求出當(dāng)x=

a+14

2

時(shí)，利潤(rùn)最大，再根據(jù)a的取值范圍分類(lèi)討論當(dāng)a取不同的值時(shí)，最大利潤(rùn)各為多少．

解答：解：（1）該分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：
L=（x-a-2）（12-x），x∈[7，9]．…（6分）
（2）當(dāng)2≤a＜4時(shí)，此時(shí)，8≤

a+14

2

＜9，
所以，當(dāng)x=

a+14

2

時(shí)，L的最大值Q(a)=

(10-a)2

4

，…（3分）
當(dāng)4≤a≤6時(shí)，此時(shí)，9≤

a+14

2

≤10，
所以，當(dāng)x=9時(shí)，L的最大值Q（a）=3（7-a）．…（3分）
答：若2≤a＜4，則當(dāng)每件產(chǎn)品售價(jià)為

a+14

2

元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)=

(10-a)2

4

；若4≤a≤6，則當(dāng)每件產(chǎn)品售價(jià)為9元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=3（7-a）．       …（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法以及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得函數(shù)的最值問(wèn)題，是各地高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意自變量的取值范圍以及分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，屬于中檔題．