Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣ （a∈R）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若對(duì)任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）= ﹣x+ ，f′（x）=x2﹣1，

令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=1，

列表：

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	﹣1	﹣	0	+	3
f（x）		↘	﹣	↗

∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）最大值為f（2）= ．

（2）解：f′（x）=x2﹣a2=（x﹣a）（x+a），

令f′（x）=0，得x1=﹣a，x2=a，

①若a＜0，在（0，﹣a）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（﹣a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

所以，f（x）在x=﹣a時(shí)取得最小值f（﹣a）=﹣ =a（ ），

因?yàn)閍＜0， ＞0，所以f（﹣a）=a（ ）＜0．

所以當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；

②若a=0，f′（x）=x2≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

所以當(dāng)a=0時(shí)，有f（x）＞f（0）=0；

③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

所以，f（x）在x=a時(shí)取得最小值f（a）= =﹣a（ ），

令f（a）=﹣a（ ）＞0，由a＞0，得 ＜0，0＜a＜ ，

所以當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，對(duì)任意x＞0，f（x）＞0都成立．

綜上，a的取值范圍是[0， ]

【解析】（1）a=1時(shí)寫(xiě)出f（x），求出f′（x），解方程f′（x）=0，列出當(dāng)x變化時(shí)f′（x）、f（x）的變化表，由表格可得函數(shù)在[0，2]上的最大值；（2）對(duì)任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等價(jià)于f（x）min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三種情況進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）min＞0可得a的范圍；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．