Question

（2011•洛陽二模）已知雙曲線的中心在坐標原點，兩個焦點為F₁（-

7

，0），F(xiàn)₂（

7

，0），點P是此雙曲線上的一點，且

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|•|

PF2

|=4，該雙曲線的標準方程是（　　）

• A．

  x2

  4

  -

  y2

  3

  =1
• B．

  x2

  3

  -

  y2

  4

  =1
• C．

  x2

  5

  -

  y2

  2

  =1
• D．

  x2

  2

  -

  y2

  5

  =1

Answer 1

分析：設雙曲線的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，利用雙曲線的定義結合題意可求得b²與a²，從而可得答案．

解答：解：設雙曲線的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∵兩焦點F₁（-

7

，0），F(xiàn)₂（

7

，0），且

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

，
∴△F₁PF₂為直角三角形，∠P為直角；
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2

7

)2=28；①
又點P是此雙曲線上的一點，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|=4a²，由|

PF1

|•|

PF2

|=4得|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF1|2+|PF2|2-8=4a²，②
由①②得：a²=5，又c²=(

7

)2=7，
∴b²=c²-a²=2．
∴雙曲線的方程為：

x2

5

-

y2

2

=1，
故選C．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查向量的數(shù)量積在幾何中的應用，考查待定系數(shù)法與方程思想，屬于中檔題．