Question

已知球O的半徑是R，A、B、C是球面上三點，且A與B、A與C、B與C的球面距離分別為

π

2

R，

π

2

R，

π

3

R，則四面體OABC的體積為（　�。�

• A．

  3

  12

  R3
• B．

  3

  4

  R3
• C．

  2

  12

  R3
• D．

  2

  4

  R3

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知：球心O與A，B，C三點構(gòu)成三棱錐O-ABC，且OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，故AO⊥面BOC．所以此題可以A為頂點根據(jù)體積公式求得三棱錐O-ABC的體積．

解答：解：球心O與A，B，C三點構(gòu)成三棱錐O-ABC，如圖所示，
已知A與B、A與C、B與C的球面距離分別為

π

2

R，

π

2

R，

π

3

R，
OA=OB=OC=R，
∴∠AOB=

AB

OA

=

π

2

=90°，
∴同樣可得∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，
由此可得AO⊥面BOC．
∵S△BOC=

1

2

R×

3

2

R=

3

4

R²．
∴由V_O-ABC=V_A-BOC=

1

3

×

3

4

R²×R=

3

12

R3．
故選A．

點評：本題考查求三棱錐的體積，解題過程中用到了換頂點的技巧，換頂點的目的是為了更方便用體積公式求值，立體幾何中求體積時注意使用這一技巧．